Программное управление высотой и скоростью

Самолет в продольном движении представляет собой многомер­ный объект. Перемещения руля высоты и секторов газа приводят к совместному изменению угла тангажа, высоты и скорости полета. Взаимная связь этих движений усложняет процесс стабилизации, не говоря уже о программном управлении высотой и скоростью. Для «развязывания» движений в каналах автопилотов применя­ются перекрестные связи. Цифровые САУ значительно расширяют возможности применения сложных алгоритмов управления, в част­ности, учитывающих перекрестные связи. Это позволяет одновре­менно и независимо с высокой точностью реализовать программы изменения во времени высоты и скорости полета, что особенно важ­но на таких ответственных этапах, как взлет, посадка и уход на второй круг.

ПО

Приведем два первых уравнения системы (1.27) к виду

V—auV —ai2Vgy — Wxg~ yg—axlb— buP, ^ ^

V gtJ=a-2V+a22 V gy — djsW yg(12ft-{-b^iP.

Регулирование воздушной V«= Vgx и вертикальной скорости Vv (индекс g здесь и далее для краткости опущен) выполняется с по­мощью изменения угла тангажа О и тяги Р. Будем рассматривать их в качестве управлений. Тогда можно подобрать такие законы управления, при реализации которых высота h и скорость V могут изменяться по независимым программам [2].

Пусть h3 — заданное отклонение от установившейся высоты Л0, V3— значение отклонения скорости от значения У о (Напомним, что в уравнении (1.27)—все переменные представляют собой ма­лые отклонения от значений, соответствующих установившемуся движению).

Программы изменения тангажа йПр и тяги Рпр зададим как ли­нейные комбинации вектора переменных состояния и заданных зна­чений h3 и У3.

^пр = с71^ -hC72^"j~^71^/,3-b b-n{h Ьз )>

Р пр = СоіУ-|-С02^-Ь^!)1^з-Ь^0л(^ ^з)> (4-7)

h = Vy.

Предположим сначала, что эти программы отрабатываются иде­ально, т. е. ■б, = ‘0’пр и Р = РПр. Подставив соотношения (4.7) в урав­нения (4.6), получим

У = (®ll4~ ®17С71 4" ^11%) У 4* (®17^71 4~ ^Xl^ol) ^з“Ь(®12-)-®17С72 — j"

+ 6цСо2) к— (®і7^7л4~^п^ол) (Л — A3) — auWyg— Wxg

h = (a22+ <^27^72 —j— ^2гСог) к-j — {ЧтМ’пЛ’ ^21^0л) (h —h3)—(l22^yg~{~

4“ (®2l4~®27C71+ ^21%) v 4"(®27^71 + ^21^ai) У a’

Если коэффициенты в программах (4.7) задать таким образом, чтобы выполнялись соотношения:

®1г4~ ®17 4~ ^11^02“®’

«17^4-Мол=°; ^ gj

®21 4~®2;C7i4“ ^21с01 =

®27^7і4~ ^21^01 = 0» то уравнения примут вид

V =(®11 4“®17С71 4“ ^11с0і) У + (Д17Й71 4- b\k 01) У з — Ct-llWyg — V Xg’i h= (Й224~®27С724- ^21с02і Л 4~ (®27^7Я 4“ ^21^0л) (А —Л3) —d^Wyg. (4.9)

Если наложить дополнительное условие

Яіі4~Оі7С71 4_^11с(Л = аТ7^71 “Ъ^И^ОЬ

то в отсутствии возмущений (Wvg=0 и №эд = 0) заданная скорость будет выдерживаться в установившемся режиме без статической ошибки. Теперь оказывается, что для определения восьми коэффи­циентов в программах (4.7) есть система из пяти уравнений. Недо­стающие для получения аналитического решения условия могут быть получены из требований точности выдерживания заданной высоты Ah

и качества переходных процессов

(®22"Ь ®27С72”Ь ^21с02)2 (2… 4) (^27^71 ^21 &0л)

или ограничения вертикальных перегрузок при отработке про­граммы.

Еще одно условие в виде неравенства получается при рассмотре­нии уравнения для скорости (4.9). Оно может быть получено либо из соображений точности выдерживания заданной скорости при действии возмущений, либо из требований к качеству переходных процессов регулирования скорости. »

Условия (4.8), обеспечивающие независимость отработки про­грамм изменения высоты и скорости, называются условиями авто­номности [2]. При реализации программ в цифровых САУ следует учитывать следующие обстоятельства. Прежде всего программы (4.7) в цифровых вычислителях будут вычисляться с запаздывани­ем (т^Г). Это накладывает дополнительные условия на выбор коэффициентов в программе. С другой стороны, программа (4.7) получена из линеаризованной системы в приращениях. Естествен­но поэтому ожидать, что хорошие результаты могут быть получе­ны при малых отклонениях от установившихся значений. Кроме того, идеальность отработки программ Опр и РПр является лишь до­пущением. Следует исследовать поэтому целую систему. Обозначим вектор состояния системы

y=(V, Vy, /г, шг, 8, Р)’

и вектор управлений

u=(SB, 5Р)’.

Добавим к системе (4.6) еще уравнения:

8—ч)г; /г — Vу’, Р—&Q”P -(-

где бр — отклонение РУД.

Полученную систему запишем в векторно-матричной форме:

У = Аг/ + В«.

Вектор управлений и зададим уравнениями

8в=£ц Ф ~&пр)4-^і2»иг;

**р== ^21*нр’

Подставив (4.12) в (4.11), получим систему

•у = (А + ВС)у(т, Г),

где С — матрица коэффициентов управлений, в которую входят ко­эффициенты программы.

Коэффициенты k\, k2 И k2 в (4.12) следует определить из усло­вия устойчивости системы (4.13).

Затем необходимо провести исследование устойчивости полу­ченной системы во всем диапазоне возможного изменения коэффи­циентов уравнений продольного движения самолета.

4.3. О синтезе оптимальных систем управления продольным движением

Существует тесная зависимость между переменными, характе­ризующими состояние в продольном движении самолета. Это ус­ложняет проектирование систем управления продольным движе­нием.

Стремление сделать независимыми каналы управления скоро­стью и высотой приводит к усложнению системы и уменьшению эффективности управления из-за увеличения энергетических потерь.

Можно попытаться разрешить эти противоречия, применяя мето­ды оптимального управления.

Следует отметить, что наиболее полно в настоящее время развит метод синтеза оптимальных систем с линейными управлениями при критерии качества, заданном в виде интегрального квадратичного функционала

Практическое применение методов оптимизации ограничивает­ся следующими обстоятельствами.

Назначение весовых коэффициентов в функционале — интеграль­ном критерии качества, в который входят все переменные состоя­ния системы, выходит за рамки решения задачи, а вид функциона­ла оказывает решающее влияние на результат оптимизации. С дру­гой стороны, интегральный функционал лишь косвенно учитывает ограничения, которые должны быть наложены на движения си­стемы.

Автоматизация управления продольным движением самолета на заключительном этапе захода на посадку представляет особые трудности. На этом этапе возрастает влияние градиентного ветра и порывов ветра на угол атаки и величину подъемной силы. При этом рулевые поверхности обладают малой эффективностью, а сте­пень устойчивости самолета по скорости мала. Особую важность эти особенности имеют при выполнении заходов на посадку по кру­тым траекториям с использованием микроволновой системы посад­ки МЛС [43]. Если выделить основные противоречивые требования,
предъявляемые к системе, то к ним относятся точность управления высотой и величиной коэффициента подъемной силы, с бдной сто­роны, и ограничения, связанные с изменением тяги двигателей и необходимым уровнем комфортности для пассажиров.

Требования невысокого уровня активности канала управления тягой двигателей в значительной степени обоснованы физиологиче­скими и психофизиологическими факторами, т. е. также могут быть отнесены к категории комфортных требований. Известно, что рез­кие изменения шума двигателей при посадке вызывают большее беспокойство нежели постоянный уровень шума.

Это требование можно учесть, введя в критерий качества вели­чину отклонения секторов газа бр или скорость изменения тяги

p=dPjdt.

Уровень комфортности пассажиров определяется величиной пере­грузок, вызванных линейными ускорениями и угловыми перемеще­ниями.

Если обозначить точность выдерживания траектории через Ah, точность управления коэффициентом подъемной СИЛЫ ДСу, то кри­терий качества может быть принят, в виде

где Q — диагональная матрица; х — вектор параметров, в который входят Ah, АСу, пу, со2, бр, 6В-

Для отыскания элементов матрицы Q следует использовать осо­бенности самого управляемого объекта (самолета). Считают, что должно соблюдаться следующее условие: изменения в уровне по­тенциальной энергии Еп, которые возникают из-за изменения высо­ты, должны иметь ту же величину, что и изменения кинетической энергии из-за увеличения скорости AV.

Для изменения потенциальной энергии имеем

En=mgAh;

для кинетической (пренебрегая малыми второго порядка)

EK=m, V AV.

Отсюда Ah=VAV/g.

Из выражения для подъемной силы

2

получаем для приращения перегрузок

и для связи приращения скорости с изменением коэффициента подъемной силы

Д 1/ =————————— P—SV3ACU

4 mg

и, следовательно:

pSV4Cy 4 mg2

Если коэффициент qw при (Ah)2 в критерии (4.14) принять рав­ным 7, то для коэффициента q22 при (АС,,)2 следует принять значе­ние

/ р£УЭ 2 I 4 mg )

Если в качестве переменной состояния принять величину откло­нения угла атаки

Да = —

то коэффициент q2i соответственно пересчитывается.

Энергетические соображения, однако, не удается положить в ос­нову выбора остальных коэффициентов. Поэтому в основу их вы­бора можно положить принцип «равного вклада». Если на пере­грузку и другие переменные и управление наложены ограничения

KI < пгг ‘“Л < |8p|-^8pm, |8„|

то соотношение коэффициентов целесообразно задавать в виде от­ношений квадратов ограничений.

Оптимальные управления определяются с помощью известных процедур решения уравнения Риккати [23].

Глава 5

АВТОМАТИЗАЦИЯ УПРАВЛЕНИЯ САМОЛЕТОМ
ПРИ ПОСАДКЕ

5.1. Анализ требований к системам автоматического захода на посадку

Современные системы автоматического управления самолетами должны обеспечивать регулярность и безопасность полетов незави­симо от метеорологических условий. В первую очередь, эта задача решается созданием систем автоматического управления заходом самолета на посадку. Успешное и надежное решение задачи по­
садки определяется точностью вывода самолета в заданное поло­жение относительно взлетно-посадочной полосы (ВПП) и требует прохождения всех допустимых траекторий в очень ограниченной зоне пространства с целью выполнения последующего приземления в жестко заданную зону ВПП.

Для посадки в сложных метеорологических условиях междуна­родная организация гражданской авиации ИКАО определила ряд эксплуатационных категорий или посадочных минимумов, характе­ризуемых высотой принятия решения и дальностью видимости, при условии обеспечения высокой вероятности успешного захода на посадку.

В настоящее время эксплуатационные категории классифици­руются следующим образом [27]:

категория I — соответствует высоте принятия решения

^гбО м и дальности видимости ^800 м;

категория II — соответствует высоте принятия решения

^30 м и дальности видимости ^400 м;

категория ИМ — соответствует высоте принятия решения в диапазоне высот от 30 м до поверхности ВПП минимальной дальности видимости ^200 м, достаточной для пробега с визуальной ориен­тировкой из кабины пилота;

категория \В — характеризуется отсутствием высоты приня­тия решения и дальностью видимости ^50 м, достаточной для движения по рулежной до­рожке;

категория ШС — характеризуется приземлением, пробегом и за­нятием соответствующего места на аэродро­ме без какой-либо визуальной ориентировки.

Предельные условия видимости, соответствующие посадочному минимуму, неразрывно связаны с безопасностью посадки. По тре­бованиям, предъявленным к режимам посадки, вероятность неудо­влетворительного захода самолета на посадку, вызывающая лет­ное происшествие, должна быть не более 10~7, откуда вытекают повышенные требования к точностным характеристикам и надежно­сти систем обеспечения посадки.

Обеспечение посадочных метеоминимумов на практике рассмат­ривается как комплексная проблема, решение которой зависит от многочисленных факторов, среди которых первостепенное значение имеют следующие:

— характеристики радиотехнического и светотехнического на­земного оборудования обеспечения посадки;

— состояние взлетно-посадочной полосы и ее размеры;

— летно-техннческие характеристики самолета, определяющие его маневренные возможности и критическую высоту ухода на вто­рой круг,

— характеристики навигационно-пилотажного оборудования;

— степень автоматизации управления самолетом в режиме за­хода на посадку;

— характер препятствий в зоне захода на посадку.

Исходя из общих требований различные страны несколько по — разному определяют требования на точностные характеристики си­стем захода на посадку.

Французская программа определяет среднеквадратичное откло­нение (гг) на высоте 30 м равное 5,5 м по боковому отклонению, и 3 м по высоте относительно луча радиотехнических средств посад­ки для ВПП шириной 45 м и критической длины. Для более широ­ких и более длинных ВПП, а также для большей высоты полета эти отклонения могут быть увеличены.

Английская программа (табл. 5.1) также определяет отклоне­ния самолета на высоте 30 м, причем ограничения наложены не только па сами отклонения, по и на спорость изменения этих от­клонений.

Таблица 5.1

Точностные характеристики	Среднее квадра­тичное отклонение	Максимальное отклонение
Боковое отклонение, м	4,6	12
Всфтикальное отклонение, м	2,4	6
Боковая скорость отклонения, м/с	0,9	2,4
Вертикальная скорость отклонения, м/с	0,6	1,8

Повышенные требования к автоматическим системам посадки, накладываемые английской программой, объясняются необходи­мостью выполнения посадок по III категории для Британских ост­ровов и севера Европы, где обычно 98% всех посадок совершается по категории II.

Не накладывая таких жестких требований на точностные ха­рактеристики захода на посадку, американская программа указы­вает, что заход на посадку будет происходить, успешно, если ка­бина пилота и выдерживаемый курс находится точно в пределах боковых границ ВПП и отклонения от глиссады не превышают 12 футов.

Отечественные требования на точностные характеристики си­стемы захода на посадку по II категории определяются для каж­дого типа самолета в зависимости от маневренных свойств и осо­бенностей, и незначительно отличаются от зарубежных.

Так, например, для самолета Ту-144 при автоматическом и ди — ректорном заходе на посадку система управления должна обеспе­чивать выполнение следующих требований:

— боковое отклонение не должно превышать ±35 мкА по току бортового радиоприемника с высоты 150 м до высоты 30 м, что соответствует на высоте 30 м боковому среднему квадратичному отклонению 4 м; при этом максимальное боковое отклонение не должно превышать 10 м;

— вертикальное отклонение не должно превышать —35…70 мкА по току радиоприемника с высоты 150 м до высоты 30 м, что соот — ветствуєт на высоте ЗО м вертикальному среднему квадратичному отклонению 1,5 м; при этом максимальное значение не должно пре­вышать 4,5 м.

Дополнительным требованием для системы автоматической по­садки регламентируется частота ухода на второй круг, которая должна быть не более 1 : 20.

Одним из основных факторов, обеспечивающих снижение поса­дочных минимумов, является повышение точностных характерис­тик наземного и бортового оборудования. При этом характеристики бортовой системы посадки должны быть согласованы с характери­стиками наземного оборудования и отвечать требованиям одной и той же категории метеоминимума.

Для получения заданных точностей вывода самолета в заданное положение относительно ВПП применяется инструментальный ме­тод захода на посадку, при котором траектория полета задается с земли направленными радиомаяками, равносигнальные зоны ко­торых строго ориентированы относительно ВПП. Бортовые радио­приемники системы захода на посадку измеряют отклонения от равносигнальных зон курсо-глиссадных радиомаяков (КРМ, ГРМ). Измеренные отклонения поступают на навигационно-пилотажный прибор и вычислительное устройство для формирования команд управления.

В настоящее время существуют требования, предъявленные к наземным радиотехническим средствам посадки, по которым идет их дальнейшее совершенствование [33].

Для захода на посадку гражданских самолетов в настоящее время наибольшее распространение получили: отечественные си­стемы СП-50, СП-68 и международная ИЛС, принципиально мало чем отличающиеся друг от друга.

В состав наземного оборудования системы ИЛС входят:

— курсовой радиомаяк, выдающий информацию для управле­ния полетом в горизонтальной плоскости;

— глиссадный радиомаяк, выдающий информацию для управ­ления в вертикальной плоскости;

— два или три маркерных радиомаяка (МРМ), устанавливае­мые в определенных точках на продолжении оси ВПП со стороны захода на посадку и сигнализирующие момент их пролета, инфор­мируя тем самым летчика о расстоянии до ВПП в фиксированных точках.

Курсовой радиомаяк размещается на продолжении оси ВПП и на расстоянии 650. .100 м от ее конца.

Настройка и регулировка луча КРМ ведется по линейному от­клонению, равному для ИЛС 210 м, у входной кромки ВПП. Даль­ность действия КРМ на высотах более 600 м должна быть не ме­нее 45 км при значении углов раствора курсового сектора в преде­лах ек=±10°, не менее 31 км при Ек=±Ю…35° и не менее 18 км за пределами ек= ±35°.

Сектор действия КРМ в вертикальной плоскости равен 7°.

Глиссадный радиомаяк располагается на расстоянии 240… 280 м от начала ВПП и на расстоянии 120…170 м от осевой линии ВПП. ГРМ допускает установку угла глиссады ег = 2…4°, который поддерживается с точностью 7,5% и 4% для маяков II и III категорий соответственно. При этом нижний прямолинейный участок глиссады снижения должен проходить базовую точку ИЛС (15 м) с точностью ±3 м. ГРМ обеспечивает удовлетворительный прием сигналов стандартным самолетным оборудованием на рас­стоянии 18,5 км в секторе ±8° от оси ВПП и в пределах вертикаль­ного угла от 1,75 ег до 0,45 ег над линией горизонта (6].

В состав бортового оборудования системы захода на посадку обычно входят:

— радиотехническое оборудование, включающее в себя курсо­вой, глиссадный и маркерные радиоприемники;

— централизованные датчики, измеряющие параметры полета и положение самолета в пространстве;

— система автоматического управления, обеспечивающая фор­мирование команд траєкторного управления, их индикацию и авто­матическую отработку исполнительными устройствами.

Не менее важным фактором, повышающим безопасность и точ­ность захода на посадку является разработка систем автоматиче­ского управления. Внедрение полуавтоматических систем управле­ния на этапах посадки лишь частично решает задачи повышения точности и безопасности. Загруженность летчика пилотированием по директорному прибору, формированием разовых команд, конт­ролем исправности систем увеличивает вероятность субъективных ошибок, снижает вероятность принятия правильного решения в сложных ситуациях, кроме того, точность полуавтоматического уп­равления уступает точности автоматического.

В настоящее время на отечественных самолетах гражданской авиации получили распространение системы директорного управ­ления заходом на посадку также системы автоматического управ­ления БСУ-ЗП, АБСУ-134, АБСУ-154, САУ-1Т [6].

Наличие в этих системах каналов автоматического, полуавто­матического и ручного управления можно рассматривать как опре­деленный вид резервирования. При отказе исполнительных уст­ройств автоматической системы происходит переход на управление по директорному прибору. При отказе вычислительного устройства или директорного прибора осуществляется переход на ручное уп­равление по совокупности показаний приборов и визуальной информации о траектории полета.

Режимом стабилизации самолета относительно равносигналь­ных зон КРМ и ГРП предшествуют стандартные режимы маневри­рования в районе аэродрома, выполняемые на высоте #=300…600 м.

Стандартный режим «коробочка», выполняемый самолетом в боковой плоскости, может начинаться с 1-го, 2-го или 3-го разворо­та, в процессе осуществления которого производится выпуск шасси и установка механизации крыла в посадочное положение. «Коро­бочка» осуществляется в режиме стабилизации заданного курса полета самолета, изменяемого в определенных точках маневра на 90° путем выполнения разворотов.

Режиму стабилизации заданной глиссады планирования по сиг­налу ГРМ предшествует режим стабилизации заданной высоты полета. Процесс перехода от режима стабилизации высоты полета к режиму стабилизации равносигнальной зоны ГРМ называется «захватом» глиссады, и представляет собой начальный этап дви­жения самолета по глиссаде.

Этот режим начинается в точке траектории, лежащей в облас­ти уверенного приема сигнала ГРМ. Эта точка называется точкой начала «захвата» глиссады и находится на высоте, примерно, 400 м. Точка окончания режима стабилизации самолета на глисса­де называется точкой «схода» с глиссады. Выпуск шасси всегда осуществляется на участке стабилизации высоты полета, на кото­ром происходит и выпуск механизации крыла в посадочное поло­жение.

Вопросам проектирования замкнутого контура управления за­ходом самолета на посадку с использованием аналоговых вычис­лительных устройств посвящены работы [2, 6, 9, 27].

Общин подход к методике проектирования систем захода само­лета на посадку, который получил наибольшее распространение [27], заключается в следующем:

— в первом приближении, используя метод «замороженных» ко­эффициентов, исследуется устойчивость системы, и определяются параметры законов управления методами расчета линейных систем;

— на основе метода статистического моделирования проводится оценка качества и точности системы управления и определяются способы улучшения характеристик системы, причем исходят из тре­бований к динамике захода на посадку и, учитывая инструменталь­ный метод организации посадки, особое внимание уделяется следу­ющим особенностям систем захода на посадку:

нестацнонарностн математической модели решаемой задачи вследствие увеличения общего коэффициента контура управления по мере приближения к ВПП при использовании информации толь­ко от угломерных радиотехнических средств;

изменению общего коэффициента контура управления, вызван­ному изменением крутизны сигнала радиотехнических средств из-за способа регулирования этих средств по линейному отклонению и нестабильностью их работы;

повышенным требованиям к точностным характеристикам дви­жения самолета по равноенгнальным зонам радиомаяков при со­вокупности действующих случайных внешних возмущений, что тре­бует применения астатических законов регулирования при автома­тическом и дирскторном управлениях.

При проектировании систем управления полетом с использова­нием БІДВМ в контуре управления наметилось два подхода.

Первый из них состоит в приближенной реализации аналоговых алгоритмов непрерывных систем на БЦВМ [7, 15, 40].

При подобной аппроксимации в цифровой системе управления возникают погрешности, источниками которых являются:

— преобразование аналогового сигнала ошибки или управления в дискретный, что приводит к ошибкам квантования по амплитуде. Эти ошибки обычно не превышают половины младшего разряда входного преобразователя «аналог — код» и ввиду их малости не учитываются;

— реализуемое приближенное соотношение между частотой и псевдочастотой аналоговых и дискретных корректирующих фильт­ров;

— изменение частотных спектров сигналов из-за наличия в си­стеме импульсного элемента;

— динамика выходного преобразователя «код — аналог».

Такой подход возможен при достаточно высокой частоте вычис­лений управляющего сигнала в ЦВУ, когда импульсными свойст­вами системы можно пренебречь.

Второй подход заключается в синтезе новых алгоритмов циф­ровых регуляторов на основе способов проектирования дискретных систем с учетом специфических свойств и широких возможностей цифровой техники [13, 34, 35].

Одно из направлений дальнейшего развития и усовершенство­вания теории управления динамическими системами при помощи дискретных вычислительных устройств возникло благодаря при­влечению математического аппарата полиномиальных уравнений [13]. Метод полиномиальных уравнений позволяет найти законы управления в явной форме и является по существу методом реше­ния определенного круга вариационных задач. Методика синтеза дискретных законов управления, основанная на решении полино­миальных уравнений, учитывает, что выбор желаемых динамиче­ских свойств системы управления не произволен, а ограничен име­ющимися возможностями объекта управления.

Другой особенностью этого метода является учет условий ус­тойчивости и грубости синтезируемой системы. Расчет дискретных систем с учетом условий грубости является необходимым, посколь­ку, с одной стороны, параметры реальных объектов не остаются постоянными в процессе функционирования, а с другой сторо­ны, — реализация синтезированных дискретных законов управле­ния в ЦВУ имеет приближенный характер ввиду свойственной ЦВУ ограниченной точности представления коэффициентов и результа­тов вычислений.

5.2. Цифровая модель траєкторного движения при заходе на посадку

В режиме захода на посадку движение самолета по сигналам радиотехнических средств осуществляется по прямолинейной тра­ектории с практически постоянной скоростью полета. Кинематиче­ская схема захода самолета на посадку в вертикальной плоскости
показана на рис. 5.1. На основании геометрических соотношений можно записать равенство [4]

H = L sin (з0-|-єг),

где єо — угол наклона глиссады; ег — угловое отклонение центра масс самолета от равносигнальной зоны глиссады; /. — горизон­тальное расстояние до ГРМ: Н — высота полета.

Принимая во внимание малость угла (ео + ег), имеем

Н (е0-)-єг). (5.1)

Изменение высоты полета и горизонтальной дальности до ГРМ оп­ределяется кинематическими соотношениями:

/y = HsinS; L= —V cos О,

где V — скорость полета; 0 — угол наклона траектории.

В процессе стабилизации самолета по глиссаде планирования угловое отклонение вектора скорости от горизонтального направле­ния мало, и предыдущие выражения могут быть записаны в виде:

H — Vb L=-V.

Интегрируя последнее уравнение системы (5.2) при V=const,

получим

L=L0 — Vt, (5.3)

где Lo — начальная дальность до ГРМ, соответствующая моменту «захвата глиссады».

Разделив равенство (5.3) на V и обозначив LolV=T0t имеем

L/V = Т0 — t. (5.4)

Считая, что угол to постоянен для конкретного аэродрома, пос­

ле дифференцирования равенства (5.1) имеем

/У=/.£г-(-/(£0 + ег). (5.5)

Подставляя в выражение (5.5) равенства (5.2) и (5.4), получим

(То — 0 £г = Ег~Ь£0_М-

Учитывая обозначения, показанные на рис. 5.1, и проведя заме­ну О = 0о+Л0 = — Ео+Д0 в предыдущем равенстве, имеем:

(То—0 *г“1“ (5-6)

Переменная Д0 характеризует отклонение вектора скорости от равносигнальной зоны ГРМ.

Пренебрегая постоянной времени фильтра глиссадного радио­приемника, представим уравнение радиотехнической системы в виде

x=Kssr, (5.7)

где х — выходной сигнал глиссадного радиоприемника; Ks — ко­эффициент пропорциональности, учитывающий отличие фактиче­ской крутизны сигнала радиотехнической системы от эталонного значения.

С учетом равенства (5.7) при постоянной величине Ks для кон­кретной радиотехнической системы уравнение (5.6) имеет вид

х=—!—х-———Д0. (5.8)

То — t To-t

Это уравнение связывает выходной ток глиссадного радиопри­емника с угловым отклонением центра масс самолета от глиссады снижения.

В отечественных системах автоматического управления заходом самолета на посадку наибольшее распространение получил закон управления углом тангажа изодромного вида [6]

-J^K=u+J<or~— ^ + КШгр^, (5.9)

где и — управляющий сигнал контура траєкторного управления; 7’и, То — постоянные времени изодромных звеньев; Ко, Кю,— пе­редаточные коэффициенты по углу тангажа и угловой скорости тангажа соответственно.

В работе [6] показано, что с законом управления (5.9) внутрен­ний контур оказывается нейтральным по углу тангажа. Каждому значению управляющего сигнала контура траєкторного управления соответствует определенная угловая скорость тангажа. Поэтому, используя закон управления (5.9) и пренебрегая динамикой внут­реннего контура, примем для расчетов наиболее упрощенное урав­нение внутреннего контура

Д 0 = — /<ГИ«,

где КИ~ — .

1 о

Таким образом, с учетом уравнения (5.8) модель контура ста­билизации центра масс самолета на глиссаде планирования может

Модель контура стабилизации центра масс самолета на равно — сигнальной курсовой линии описывается аналогичной системой уравнений [40]:

Т 0-*

у=^—у+-^-г?

<?= — К’ии’,

ф (Л *о)

по =eF(/)=V-^r [/=•(/) i*=

= (Г0-О2 О О Подставив выражения (5.16), (5.17) и (5.18) в равенство (5.14), можно убедиться, что оно обращается в тождество: То— *о д — t — *о ‘

К*

тсльностью векторов {и(Л)}, причем u(kT) =u(kT+) (k—, 2, 3, …. л) и постоянно на интервале kT^.t^. (k +1) 7. В этом случае об­щее решение уравнения (5.12) определяется равенством

.*(/)—Ф(*, /o)JC«o)-|-^f Ф(*, 0)d^Bu(nT).

Вычислим выражение I ^ Фit, з)d? I В для уравнения (5.11)

t		*	Го-з /СД*-з)	0
Ф (t, з) й(з	в=		г0-< г0 — t щ
J * 0		*1 ^0	0	1 £

(2г0 —t—10) JiilL—

2 (Го-о t-L

KsKAt-k)2

Дискретная модель контура стабилизации центра масс самоле­та на глиссаде планирования после замены t=(n+l)T и to = nT, с учетом выражений (5.19) и (5.20) может быть записана в следую­щем виде:

*i {п+ 1)7]		Го-пГ	KST	Xj (л7)
: =	Г0-(л + 1)Г	Г0-(л-Н)Г	+
■*2 [(^"Ь 7]		0	1	*2 («7)

KsK*n 2 [Го— (л+ I) Г] — KJ

и (пТ).

(5.21)

Приведем систему уравнений (5.21) к одному разностному уравнению относительно переменной Х.

Запишем выражение для первого уравнения системы (5.21) в дискретный момент времени [(л+ 2) Г]:

*■ [(‘,+2)п — Тт1-1ЦТт*■к»+1)7і+

•*i [(и -)-2) Г] = —

Подставляя в это уравнение значения переменных Х[{п+)Т н хг[(гН-1) Л в [(л+1)7] момент времени и приведя подобные чле­ны, получим

То — (л + 2) Г KsKuT*

KsKaT*

Уравнение (5.22) совместно с первым уравнением системы (5.21) можно рассматривать как систему алгебраических уравне­ний относительно неизвестных х (пТ) и х2(пТ):

Найдя решение этой системы уравнений относительно перемен­ной х(пТ) и проделав преобразования, получим разностное урав­нение второго порядка с переменными коэффициентами:

X X! (пТ)= — KsK/tt, {и(пТ)—и[{п—)Т). (5.23)

Таким образом, дискретная модель внешнего контура захода самолета на посадку в продольном и боковом каналах управления может быть представлена как в виде системы разностных уравне­ний первого порядка с переменными коэффициентами, так и в виде линейного разностного уравнения второго порядка.

5.3. Квазистационарность дискретной нестационарной системы

Удобные и простые методы исследования, разработанные в тео­рии стационарных систем, заставляют возвращаться к отысканию возможности применить эту теорию к нестационарным системам, т. е. к использованию гипотезы замораживания коэффициентов дифференциальных уравнений.

Под понятием квазистационарности или гипотезы заморажива­ния коэффициентов в дальнейшем понимается непосредственное использование понятий, методов и форм записи, разработанных для линейных стационарных систем, к нестационарным системам, считая их в каждый момент времени стационарными с коэффици­ентами, равными соответствующим коэффициентам нестационарных систем в тот же момент времени, а полученный результат считать зависящим от времени как от параметра [41].

Справедливость гипотезы замораживания коэффициентов в об­щем случае не доказана и существует множество примеров, когда применение этой гипотезы приводит к неверным результатам.

Обычно при использовании гипотезы замороженных коэффици­ентов полагают, что если параметры системы меняются медленно,

то движение этой системы мало отличается от движения системы с постоянными параметрами, поскольку в предельном случае, когда параметры изменяются бесконечно медленно, это становится оче­видным.

Основанное на оценке скорости изменения коэффициентов не­стационарного линейного непрерывного уравнения, понятие квази­стационарности рассматривается в работе [41].

Согласно этой работе система линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами:

xx=an{t) хх—aV2{t)х2;

Хо = Й21 (О •X’l "Ь Я22 СО -^2

является квазистационариой, если для переменных коэффициентов du(t), а 12 (г) Я21 (t), 022(0 выполняются следующие два неравен­ства:

|яи (if) я22 (t) — я 12 it) а і (/)| > Яц (0 ai2-j } — Яц (і) ;

2 ai2 (О

Распространим понятие квазистацнонарности на дискретные ли­нейные системы с переменными коэффициентами подобно тому, как это понятие определяется для непрерывных линейных неста­ционарных систем в работе [41].

Рассмотрим две линейные дискретные однородные системы с переменными и постоянными коэффициентами:

хг (я-)- )=ап(п)хх (я)+я,2(я)^2(я): *2 (п — f1)=я2і (я) хх (я) + Я22 (я) *2 (я); *1 (я+ 1)=Яц^Сі (я) —апх2 (я);

*2(я + 1)=а2іЛГі (п)—а22Х2(п).

Приведем систему (5.24) к уравнениям второго порядка отно­сительно переменных Х{п) и л’г(п). Значение переменной Х(п) в (rt-f 2) момент времени определяется равенством

хх (п— 2)=яц (я — f-1) хх (я -[- 1)-|~аі2 (я — J-1) х2 (я -|-1). (5.26)

Подставляя значения Jtj(n-H) и xz(n +1) из системы (5.24) в равенство (5.26) и рассматривая его совместно с первым уравне­нием системы (5.24), получим систему алгебраических уравнений относительно неизвестных Х {п) Х2 (я):

’17ц (я + 1) ап (я) + я12 (я +1) а21 (я)] *1 (я) + [яц (я + 1) а12 (я) ч +al2(n.+ )a22W]x2(n)= — хх(п—2) 1

Я11 (Я) Х (Я) -)- Я12 (Я) Х2 (Я) = ^i (Я И ■<

Решив эту систему алгебраических уравнений относительно пе­ременной х (а) и проделав преобразования, получим дискретное уравнение второго порядка

.Vj (а + 2) -[ац (а + 1)4 «22 W *’%£-] (« + 1) +

4- [ап (а) а-22 (я) ~аи — —я[2 (я 4-1)я>і (я)1 Лі (я) = 0. (5.27) L ап (п) J

Соответственно для переменной *2 (») имеем следующее уравне­ние второго порядка:

а 21 (л 4- 1)

в21 (а)

+ Ian (а) а22 (а) •ал (” + — я21 (я + 1)яц(л)|лг2(а) = 0. (5.28)

L а21 (л) і

Проделав аналогичные преобразования для системы с постоян­ными коэффициентами (5.25), получим уравнение второго порядка С ПОСТОЯННЫМИ коэффициентами ДЛЯ переменных Х(п) И *2 (я):

jti (а 4 2) — (а„ + а22) лгі (а + 1)4- (ЯцЯ22 — Яі2я21) *1 (а) = 0. (5.29)

Х2 (а -(- 2) — (ап 4я22) Х{п 4" 1) “І-(я і іЯ22“І-Яі2я2і) -^2 (я)== 0- (5.30)

Преобразуем коэффициенты уравнений (5.27) и (5.28) к виду коэффициентов уравнений (5.29), (5.30) с дополнительными чле­нами.

Яц («4" 1)4"я22 (Я) д12 (п +_>—— ац (я 4" 1)4"аП («1— ап (я) 4

«12 (л),

+ а22 (а) — я22 (а)+а22 (я) gl2(? +-^ = ап (а)4 а22 (я) + Дан (а) 4

«12 (”)

+ Я22 (я) [ —12 ^ ——- 1 — [Яц (я) —0-22 (я)] 4" ДЯц (Я)-}-

L «12 («)

Ад 12 (а) «12 (л)

Я22 (Я 4 1)4“®Н (Я) Д21~- ‘ — = [«11 (а) 4®22 (я)] 4’ Да22 (я)4

«21 (Л)

«21 (Л)

Яц(а)а22′(я) Д12(я 1 -—яі2(я4 l)«2t (я) —

«12 (и)

[«11 (л) «22 (л) — Д12 (л) Д21 (л)] Д12 (« + 1)—[«11 (л) «22 (л)—«13 (л) Д21 (л)] fli2 (я)

«12 (л)

4-Яц (а) а22 (а) — Яі8(я) a2J (я) = [ап {п)а. и (а) — au (a) a2J (я)[ 4-

. [ап (/2) й<22 (п) — Й12 (п) а2 1 (л)] Дяі2 (л) .

«12(«)

«п (я) яй (я) —21 д21 (л + 1) л12 (п) = jou (л) а {п) _

«21 (Л)

— я,2 (л) л 21 (л)] +>» (п) (п) ~ Д12 (п) д-а1-.(яИ Ай21 <"> .

а-2 (л)

Уравнения (5.27) и (5.28) перепишем в следующем виде:

*1 (Л + 2) — ([л„ (л) +л22 (л)] + Ддп (л) + д,2 (я) — Я12/(”) | JC! (л + 1) +

I «12 (Л) ) ‘

+|«11 (Я) «22 (Я) — Л12 (Я) Л21 (Я) + — Дй12/7 [«п (Я) Л г,2 (Л) —

I «12 (Л)

— л12(я)д2, (я)]} лгі (я) = 0; (5.31)

х2 (я + 2) — ([лц (я)+я22 (я)] + Дл22 (я) + Яц (я)-■Д21/”)| х2 (я + 2) +

I «21 (Л) J

+ (лц (я) Л22 (Я) — Лі2 (Я) Я21 (Я) + [лп (л) л22 (л) —

I «21 (Л)

—Яі2(л)л2і(л)]} х2(я) = 0. (5.32)

В основу используемого понятия квазистационарности системы линейных разностных уравнений с переменными коэффициентами

(5.24) положено предположение, что если при приведении системы

(5.24) С учетом переменности коэффициентов Яи(я), Лі2(я), Я2і(л), «22(я) к уравнениям вида (5.31), (5.32) и без учета переменности этих коэффициентов к уравнениям вида (5.29), (5.30) выполняют­ся условия

I ДЯп (Л) -)-«22 (я)—- |«11 (Я) +«22 («)|! (5.33)

I «12 (л) I

Аа22(п)+ап(п)-^^-^аи(п) + а22(п) 15.34)

и условия

1 Д«12(л)

I «12 (л)

Д«21 (л)

Я21 (л)

то исходная однородная система (5.24) близка по своим свой­ствам системе с постоянными коэффициентами (5.25) и может ис­следоваться разработанными для них методами.

Проверим условия квазистационарности однородной дискретной системы разностных уравнений, получаемую из системы (5.21):

,^+ВГІ — — b^-Xl(nr)+1

Х’2 [(я + 1) Т =х2 (пТ).

Согласно принятым обозначениям выражения для коэффициен­тов и их разностей системы (5.37) равны:

Для однородной системы (5.37) условия квазистацнонарности определяются неравенствами (5.33) и (5.35). Вычислив левые и правые части этих неравенств имеем:

(5.39)

которые справедливы при пТ<Т0.

Считая, что правая часть неравенств (5.38), (5.39) в m раз боль­ше левой части, получим уравнения для определения фиксирован­ных моментов времени {п,2Т) до которых можно считать квазиста — ционарной систему уравнений (5.37), Из неравенства (5.38) име­ем уравнение относительно ПТ:

или

2 (Я17’)2+ (5Г—47’0+ш7’) (пхТ) + 27о + 57Т0+2Г2-т7Т0=0. (5.40) Из неравенства (5.39) получаем уравнение относительно п2Т: п2Т = Т0 — Т (т2 -j — 2). (5.41)

Для высоты «захвата» глиссады /7=400 м, скорости полета У = 77,8 м/с, угла наклона глиссады е0=2°40/ и выбранных значе —

ний т= 10 и Т — 1 с, значения (п{Т) и (п2Т), рассчитанные по урав­нениям (5.40) и (5.41), равны соответственно 98 и 102 с.

Меньшее значение времени (п2Т) =98 с соответствует высоте полета по глиссаде /7 = 45 м. При этих условиях будем считать, что до высоты полета порядка 45 м однородная система (5.37) явля­ется квазистациокарной и может исследоваться методами, разра­ботанными для линейных дискретных стапционарных систем.

Компенсация нестационарнэсти коэффициента усиления неод­нородного уравнения (5.23) возможна за счет введения переменного по времени коэффициента у(пТ) в закон управления, компенси­рующего нестационарность неоднородной части уравнения (5.23). В простейшем случае коэффициент у (пТ) может быть выбран сле­дующего вида:

После подстановки фиксированного интервала времени (поТ) в коэффициенты уравнения (5.21) и введения переменного коэф­фициента у(пТ) при условии Т* = Т0 имеем:

.що.+2>л — д,[(„+D7-1 +

Т о + («о + 2)Т

, Го-п0Г „ л_ К*КкТЦТ«-(п +2)Т] ТТ0-(п0+2)Т 1 2Т* [Го — (п +2) Т)

которое является уравнением с постоянными коэффициентами.

Воспользовавшись формулой смещения независимого перемен­ного п в области оригиналов [7]

KsKuT2 . 2 Т* ‘

и учитывая, что второе слагаемое в правой части равенства (5.43) обращается в нуль, х(п)= 0 при п = 0, 1, …. m—1 получим дискрет­ную передаточную функцию объекта управления

5.4. Синтез цифрового закона управления по минимуму средней квадратичной ошибки

Для определения в первом приближении дискретных законов управления траекторным движением при заходе самолета на посад­ку рассмотрим решение оптимальной задачи, используя в качестве показателя оптимальности системы суммарную квадратичную
ошибку отклонения центра масс самолета от глиссады планирова­ния:

оо

/ (е) = V х(пТ). (5.45)

жагі

п=О

Цель синтеза— определить дискретный закон управления, свя­зывающий координаты и и Х и обеспечивающий отработку детер­минированного задающего воздействия g(t) с минимальной сред­ней квадратичной ошибкой. В качестве g(t) принимается скачко­образный сигнал, характеризующий отклонение центра масс самолета в момент «захвата» глиссады. Экстремальное значение критерия оптимальности определяет предельные возможности дис­кретной системы по данному показателю, которые могут быть дос­тигнуты при дискресной коррекции. Исследуемая система относится к классу одномерных и имеет нелинейности типа «насыщения» из-за ограниченного диапазона перемещения рулевых поверхностей са­молета. Чтобы учесть требования ограниченности выходной коор­динаты х(пТ), а также не допустить «насыщения» управляющей координаты и(пТ), на диапазон изменения координат и(пТ) и Х(пТ) налагаются условия

|Д’и(дТ)| <a; i=0, 1 ;

ІДА[3]! {пТ) <сг / = 0,1,…, р /г = 0,1,2,…,оо. (5.46)

Объект управления описывается линейным разностным уравне­нием (5.42) с постоянными коэффициентами или соответствующей дискретной передаточной функцией (5.44).

Поставленная задача решается методом полиномиальных урав­нений, являющимся по существу численным методом решения по­добного круга вариационных задач. Учет ограничений управляю­щего сигнала и выходной координаты осуществляется методом ли­нейного программирования.

Прежде чем перейти к методике синтеза на основе полиноми­альных уравнений [13], рассмотрим основные способы их решения.

В общем случае полиномиальное уравнение можно записать в виде

AX + RY = C, (5.47)

где А, В, С — известные полиномы, разложенные по степеням:

п р I

A = ‘S^aizi Я = V &,•£’; C = Vc/. і-о ;=о (-1

Степени полиномов будем обозначать следующим образом: ИДИ;

IIBII; ІІСЦ ит. д.

Из теории полиномиальных уравнений известно, что уравнение (5.47) имеет бесконечное множество решений, причем общее реше­ние полиномиального уравнения определяется формулами

я=—(-1 )a+lFnC + BN

Р

*/=—(-1 )“/<„C+AN, (5.49)

Р

где /V—произвольный ПОЛИНОМ; р—наибольший общий делитель полиномов А и В; n—s-h 1; s — степень полиномиального уравне­ния, определяемая равенством: s = max{lu4|| + ||A1l; ||В|| + ||У||; ||С||}; Кп, Fn — числитель и знаменатель соответственно, подходящей дроби Kn/Fn, образованной из неполных частных полиномов Qo‘, Qі; Qn по следующим равенствам:

Неполные частные полиномы получаются от последовательного деления полиномов с помощью алгоритма Эвклида по следующим формулам.

Rn-2—Rn-Qn-+Rn о < HRJ <HRa-J.

Rn-i—RnQni

Rn=P-

Решение полиномиального уравнения (5.47), в котором хотя бы один из полиномов X и Y имеет минимально возможную степень, называется минимальным, Для получения минимального полинома Хо достаточно найти остаток от деления полинома

— ( —1 )n+lFnC на полином В

Р *

находится из решения объединенного полиномиального уравне­ния

АХ+ВУ=С. (5.51)

Полиномы А, В, F, С объединенного полиномиального уравнения (5.51) вычисляются следующим образом:

— полином В определяется как произведение всех полиномов В;ПО формуле

т

1=1

т т т

—по формулам: i4 = V С—’^СіВ’1-, Y = V yt определя-

f=1 і=1 і 1

ютея А, С, У, где

В‘ = В/В;.

Общие и минимальные решения объединенного полиномиально­го уравнения определяются по формулам (5.48), (5.49) и (5.50) со­ответственно.

В задаче синтеза по критерию минимума суммарной средней квадратичной ошибки методом полиномиальных уравнении поль­зуются способом факторизации — разбиения многочлена на два сомножителя, корни одного из которых принадлежат заданной комплексной области В+, а корни другого находятся вне ее. В ка­честве области D+ примем внутреннюю часть единичного круга на комплексной плоскости, включая границу В+: {z =^1}, а в качестве D~ — его внешнюю часть D~ : {|z|>l}. Сомножитель мно­гочлена, корни которого принадлежат комплексной области D+, будем отмечать индексом «плюс». Сомножитель, корни которого принадлежат области D~—индексом «минус», т. е. произвольный полином может быть представлен в виде

A(z)=A+ (z)A-(z).

Дискретный закон управления, минимизирующий среднюю квад­ратичную ошибку в дискретные моменты времени и обеспечиваю­щий условия устойчивости и грубости замкнутой дискретной систе­мы находится следующим образом [131:

1) определяется Z-преобразование управляющего воздействия g (t) и неизменяемой части системы:

Z[g(t)=g{z)= |g-;

Z L~X WAP)\=WH(z) = ^L,

где — оператор обратного преобразования Лапласа;

2) проводится инверсия ПОЛИНОМОВ R(z)> S(z), P(z), Q(z) ( мена аргумента 2 на г-1):

g(z-,)=^(£ZlL;

’ 5 (г-і)

IV7 (Z~ 1) _ . Р (г.

WAZ «(«-о

3) составляется и фактаризуется функция G(z~l):

‘ IS "S’ S(z)S(t-<) Ills-1) о+(г-1)«-(г-) ’

4) факторизуется функция ^(г-1)-‘

r—i), . ЯЧ-(г-і)Я-(г-і) .

н(~ Q+ (г-1) Q — (г-1) ’

5) составляется система полиномиальных уравнений:

Р- (2-1) 0 (2-1) +Q — (2-1) Пі (S’-1) = /+ (2-1) Р — (2-1) Q — (2-1); )

(5.56)

Я-(2-1)0(2-1)4-гг+(2-1)П2(2-1) = /+ (2-і) Р — (2-1) Q — (2-і), )

где 0(2-1); Пі(2-‘); П2(2-‘) — неизвестные полиномы; P~(z~’); Q~(z~l)—транспонированные полиномы (полиномы с обратным следованием коэффициентов).

Объединенное полиномиальное уравнение, соответствующее си­стеме полиномиальных уравнений (5.56), имеет вид р — (2-1) [и+ (z-i)-f Q — (2-і)] 0(2-1)+Q — (2—1) д(2-1) [П1(г-1)+П2(2-1)]==

= /+ (г-1) Р (2-1) Q — (2-і) [«+ (2-1) — f Q — (2-і)]; (5.57)

6) находится минимальное решение объединенного полиноми­ального уравнения (5.57) относительно полинома 0(2-1) при усло­вии, что Пі (0) Ф0.

Общее решение объединенного полиномиального уравнения

(5.57) относительно неизвестных полиномов 0(г-‘) и [П^г-Ч-Ь + П2(2“1)] определяются равенствами

0 (2-1) = 0О (2”1) + Q — (2-1) 11+ (2-1) N (2“!);

[П] (2-1) -]- П2 (2 !)] = [Пі (2—1) -(- п2 (2~1)]0 —

— р — (2-! а+ (2-і) + Q — (г-1)] N (z~l),

где А/(2~1) — ПРОИЗВОЛЬНЫЙ полином; 0о(2~1); [Пі (z~l) — і-П2(2"1)]о — полиномы, соответствующие минимальному решению уравнения

После решения объединенного полиномиального уравнения

(5.57) полиномы Пі (г-1) и n2(2-!) находятся по формулам

п (~->) /+ (г~’) р — (g-1)^- (г~») — Р (г-1) On (г-1) _

От (г-1)

;зб

— P — (г-1) и+ (г-1) N (г-1);

/+ (г-1) Р— (г-і) Q — (г-1) — Р — (г~«) 9П (г-1)
и+ (г-1)

— Р — (г-1) и+ (г"1) N (г-1);

7) определяется закон управления цифрового управляющего устройства, минимизирующий среднюю квадратичную ошибку си­стемы по формуле

Q+ (г-1) Вр (г-Q Р+ (г-і) Пі (г-1)

Определяемый по формуле (5.58) закон управления цифрового управляющего устройства вводит дополнительные нули и полюса в замкнутую систему, обеспечивающие выполнение критерия качест­ва и компенсирующие Qj'(2-1), т. е. ту часть динамики объекта уп­равления, которую можно скомпенсировать без нарушения условий устойчивости и грубости системы управления;

8) после нахождения дискретного закона управления проверя­ется выполнение условий (5.46).

Для составления системы неравенств, соответствующей налага­емым условиям (5.46), можно воспользоваться свойством Z-преоб — разования, которое заключается в том, что k-їі коэффициент в разложении изображения любой координаты Z{А‘и(пТ)} или Z{S>x(nT)} но степеням г-1 равен значению этой координаты в тактовый момент времени пТ. Условия (5.46) требуют выполнения системы неравенств бесконечной размерности, поскольку п = 0, 1, 2, …, k, …, оо. Однако, поскольку выполняются условия устойчиво­сти системы, можно положить, что установившиеся значения пере­ходных процессов координат Д 1и(пТ) и ЛОс1 i^nT) не превышают заданных чисел /; (і = 0, 1, 2, …, г) и m, (/ = 0, 1, 2, …, Р). В этом случае система неравенств (5.46) имеет конечную размерность

и(пТ) <а; /==0,1,…, г; (5.59)

^xx(nT)KCi у =0,1,…,р п=0,1,2,…,A!,…,s.

Для составления системы неравенств (5.59) воспользуемся следую­щими соотношениями:

Z (и (пТ)} = и (г-1) = Е (г-0 WR (гг*); (5.60)

Z {xx(tiT) — Xi (г-1) = //(г~1)§-(г-1), (5.61)

где Е(г-’) —изображение сигнала ошибки системы: //(г-1) —дис­кретная передаточная функция замкнутой системы.

/7(г-1) и E(z~]) определяются равенствами

Н 6г-‘)= EM*-Wh(z-i)

* ! + W* (г-1) (г-1)

Д(г-‘)=11-Я(г-1)]^(г-1),

откуда, после подстановки в равенство (5.62), (5.63) значений ^(г-1); ^„(z-1) и Wh(z~l) из формул (5.52), (5.55) и (5.58) соот­ветственно и преобразований с учетом первого уравнения системы (5.56) имеем

гл—1ч <?-(*-»)!!! (г-1)/? (г-1) .

1 /+ (г-і) Р — (*-i)S (г-і) ’

Р — (г-1) 6 (г-1)

/+(г-‘) Я-(г-1) Q (г-1)

Окончательно выражения для составления системы неравенств (5.59) с учетом соотношений (5.60) и (5.61) можно переписать в виде

Z {Д! и(пТ)} = [ ——У и Сг) =

_ (1-г-іу’О(г-і)/?(г-і)0(г-і) . (5 64

Я+ (г—і) /+ (г—і) Я — (г—1) $— (г—1) S (г-1) ’

Z ^xl{nT)) = (^Y~y xx{z)==

(1 — z-i)> р — (г-i) р (г-1) 8 (г-1) .

_ /+(г-і)Р-(г-і)$-(г-і)5(г-і) ’

/=0,1,..,, г; у = 0,1,д=0,1,2……………………… k,…,s.

Анализ выражений (5.64) и (5.65) показывает, что возможность удовлетворения ограничений (5.59) зависит от выбора решения 0(г-1) из бесконечного множества решений уравнения (5.57). Если при минимальном решении 0р(г-1) ограничения (5.59) не удовле­творяются, то необходимо, положив N'(z~l)=n0, решить систему

(5.57) н, использовав выражения (5.64) и (5.65), составить новую систему неравенств, соответствующую исходным ограничениям. Используя затем соответствующие методы линейного программиро­вания, ищется оптимальное решение этой системы неравенств. Если данная система неравенств противоречива, то, повышая сте­пень полинома jV(z_1), необходимо составить и решить новую си­стему. Эта процедура выполняется до тех пор, пока не найдется Л’(г-1), коэффициенты которого удовлетворяют соответствующей системе неравенств.

Синтезируем закон управления заходом самолета на посадку по изложенной выше методике.

Из условий ограничения перемещений рулевых управляющих поверхностей и обеспечения безопасности автоматического захода на посадку на систему накладываются следующие ограничения:

|И (й ПК Ища*; 1

иі(д7,)|<ЛГітв, I

где «тах — максимально допустимое перемещение нуля высоты от 138

балансировочного положения; Хцпах — максимально допустимое угловое отклонение самолета от равносигнальной зоны. В качест­ве возмущающего воздействия рассмотрим сигнал g-(f) =Л ■ 1 ((), который характеризует отклонение самолета от равносигнальной зоны в режиме «захвата» глиссады:

По формуле (5.54) составляем функцию G(z_I):

0(г~1)=/(г-) =————— — .

гг (г-і) (1 — гг—1)2

Согласно (5.44) дискретная передаточная функции неизменяе­мой части системы имеет вид

Р(г~9 _ Ь( 1 +z-i) .

(?(г-і)

2Т*

_ Го — ппТ

То («0+2)7-

После факторизации функций ^’„(г-1) и G(z_I) имеем Q+(z-1)=l+z-1; P+(z-i) = (l+z-1);

Q-(z~I)= 1 — 3z-1; />_(г_1)= — &z-1;

«+(z~i)= 1 — z-’; /+ (z-1) = 1;

«~(г_1)= 1 —z-i; /~ (z~1)=—A2z~1.

Система полиномиальных уравнений (5.56) принимает вид:

-te-‘G (z-1) + (1 — г-1) П2 (z-1) = — Й (z-i — 3). ) Полиномы P~ (z~1)=~b; Q-(z-I) = z_1 —13.

Поскольку p-||-H|Q-||X|/+P-Q-|| и + |K/+||>||/+P-Q-f система полиномиальных уравнений (5.67) является правильной и мини­мальному решению 0о(гг1) соответствуют минимальные решения

П, о(г-‘); П20(г~1).

В случае решения системы полиномиальных уравнений, состоя­щей из двух уравнений, помимо метода объединенного полиноми­ального уравнения, можно воспользоваться следующим приемом. Решая каждое уравнение системы (5.67) в отдельности, имеем для первого уравнения согласно формулам (5.48), (5.49) решения

6, (z-i)=Gi„ (z-i)-f Q — (z-‘) Mi (z-‘) = 3 (z-1 — 3) +

+ (?z“1-l)Af1(z->);

П, (z-1) = Пю (z-1) — P — (z-1) Mi (z-1) = — ft (z-1 — 3) — ftz-Wj (zri), где Mj(z_1) —произвольный полином.

Для второго уравнения имеем решение

2 (z~1) =022 (z~l) — и+ (г"1) M^z"1) =(г“! — S) — (г”1 — 1) М2 (гг — *);

(5.70)

П2(г-1) = П20 (г-1) + Р~ (z~l) M2(z~’) =—b (z~l — b) — f bz~’M2 (г"1),

(5.71)

где Af2(2-!) —произвольный полином.

Чтобы полином 0(z-1) удовлетворял обоим уравнениям системы (5.67), необходимо выполнение равенства

0io(z-1)+Q(z-!) М1 (z“1)=02O(z-1) — и+ (z-1) М2(г~1).

которое справедливо, если M|(z_1) и M2(z_1) удовлетворяют поли­номиальному уравнению

Q~(г~)Лі (z~i)-u+ (z-О М2 (z"») = 0и(г-») —01О (z-1). (5.72)

Найдя минимальное решение этого уравнения, можно подставить его в решения (5.68), (5.69), (5.70), (5.71) первого и второго урав­нений системы (5.67) и найти неизвестные полиномы Оо(2г*), II10(z-і) и ГГ»(Г-1).

В нашем случае уравнение (5.72) имеет вид Ог-1 г — 1) Mi (z-1) + (z-1 + 1) М2 (z-i) = (1 — р) z-i + р ф — 1).

Минимальным решением этого уравнения являются полиномы нулевой степени, так как ||Mill = ||Q_II—1 и ||М2|| = !|Р-||—1 и соот­ветственно равны тю=р_1; m20=l—(З2.

Подставляя эти минимальные решения уравнения (5.72) в ра­венстве (5.68), (5.69) и (5.71), получим

0О (2Г-1) = p2z-i (1 _ з — ?2);

П10(г-1)=^(1—z-1);

n20(2“1)=^(l — fc-1).

Дискретный закон управления траєкторним движением самоле­та при заходе на посадку согласно формулы (5.55) имеет вид

Проверим выполнение неравенств (5.66), для чего найдем Z-преобразование выходной координаты управляющего устройства и(пТ) и координаты Xi(nT). Согласно формулам (5.64) и (5.65) имеем

Расчеты показали, что для «тах = 6,5°, Ximax = 70 мкЛ и А = — 25 мк/1, система неравенств, составленная на основании выраже­ний (5.74) и (5.75), удовлетворяется. Таким образом, для дальней­ших исследований допустимо ограничиться дискретным законом управления (5.73).

Для оценки свойств синтезированного закона управления най­дем его непрерывный аналог Закон управления (5.73) выразим через значения решетчатых функций в следующем виде:

Преобразуем равенстве (5.76) следующим образом: и(пП~“у-я~—-=-^г {^1 («Л |(я-1)Т +

і [(я — 2) Г]! =—— {(ЛГо —(— /Сі —(— АГ2) Х (пТ) — КХ (пТ) —

— К%хі (пТ)— КХ [(я — 1)71 —К2хі [(я — 2) Г]’ = —■

+ АГ2) АГг (пТ) — (у + ^2) 1*1 (яТ)-X: [(я — 2) Т\ -^х, (пТ) +
+ Кххх [(я —1)74—у — *i [(л — 2) 71).

Откуда после группировки членов окончательно получаем

и(пТ) — и [(и — 2)7′] Ко + К + Кч х (пТ)___

2т 2Т lV }

I К__ ,»• jci (nTQ — jf! [(и — 2) Т]

( 2 "7" 2j 2Г

/СіТ £і(пГ) — 2-У! [(Я — 1) Т] + £1 [(я — 2) Т]

4 Г2

Если считать, что первая производная аппроксимируется более точным, чем первая разность, выражением

которое получается на основе второй интерполяционной формулы Ньютона, а вторая производная — разностью второго порядка Х1 (пТ) — 2х [(п— 1)Г] +£1 (п — 2) Т

Т2 ’

то можно записать непрерывный аналог дискретного закона управ­ления (5.76) после интегрирования обеих частей равенства

И (t)=КхХг (t)—Kxx(t)— jx, (/) dt,

Таким образом, дискретный закон управления (5.76), синтези­рованный по критерию минимума средней квадратичной ошибки, содержит члены, пропорциональные измеряемой координате, ее первой производной и интегралу от координаты по времени, т. е. является дискретным аналогом непрерывного интегрального закона управления, не получившего распространения в аналоговых системах из-за трудности реализации операции интегрирования и ее контроля на элементах аналоговой техники.

При сокращении числителя и знаменателя равенства (5.73) на (1—г-1) дискретный алгоритм управления приобретает вид

u{jiT)— — u [п — )T—KnXi(nT) — К2Х (п — 1)7"], (5.79)

и в нем отсутствует интегральная составляющая сигнала управле­ния.

Действительно, после подстановки в равенство (5.79) члена и[(п—1)7] в виде

и I(п — 1) 7’J = —и (п — 2) т + К0х 1 (п — 1) Т — К2Х1 [(га — 2) Т и группировки подобных членов имеем

и (пТ) — U К п — 2) Т = К° ~ — Ф-

I Т / Ко + *2 ‘*1 (ПТ) — 2хх [(я — 2) Т] + £1 f(n — 2) Т] ‘ 2 ( 2 ) П

Считая, что первая разность аппроксимируется равенством (5.77), а вторая— (5.78), приходим к непрерывному аналогу дис­кретного закона управления в виде

и (t) = Кххг (t) (/),

kp— kn . _ k0 + k2 — p

2 ’ x 4

5.5. Определение вида коррекции передаточных коэффициентов цифрового закона управления

После определения структуры законов управления траектор — ным движением рассмотрим систему управления с нестацнонным объектом управления, который описывается нестацнонным линей­ным разностным уравнением (5.23):

X,[to+2) T] — “I’-f’sXP-* 1) T0

Коэффициент усиления объекта управления интенсивно изменя­ется в процессе снижения самолета по глиссаде до высоты Я = 30м и при номинальных начальных условиях захода на посадку (Нгл = = 400 м, К=72,2 м/с, e0 = 2,666s) увеличивается в 13 раз. При су­ществующих требованиях па качество и точность выполнения за­хода на посадку необходимо вести корректировку коэффициентов дискретного закона управления.

Введем новую переменную;

х (га7) = (70— пТ)Х(пТ)

х [(га + 1) 7] = [70 —(га +1) 7] Х [(га + 1) 7]; (5.81)

* [(я +2)7] = [70 — (га + 2) 7] хх [(га + 2) 7].

Используя новую переменную х, уравнение (5.80) запишем в виде разностного уравнения с постоянными коэффициентами

х [(га +2) 7] — 2* [(га + 1) 7] +х (пТ)=-Ь и (га7)+и [(га +1)7]},

(5.82)

гдей = -^_.

Выражение для рекуррентного закона управления (5.76) с уче­том обозначений (5.81) можно записать

полностью компенсирующие переменные коэффициенты, то поведе­ние системы относительно фиктивной координаты х, описывается системой разностных уравнений с постоянными коэффициентами:

х [(га+ 2) 7] — 2х [(га —1)7] +х (га7)= — Ьи (га7) + к ](га +1) 7]);

(5.85)

.« (га 7) = а [(га — 2) 7] + Klx (пТ)+Кгх [(га — 1)7] + К^х [(га — 2) 7].

из

Систему уравнений (5.85) можно привести к одному разностному уравнению третьего порядка, характеристическое уравнение кото­рого имеет вид:

A0z3 -|- A iZ — -|- A2z — f — А з=О,

где Ао— 1; А і = ЬКо—3; А2 — 3 + К Ь А.

Система устойчива, если все корни характеристического урав­нения лежат внутри единичного радиуса на комплексной плоскости г. Воспользовавшись формулами, приведенными в [15], для систе­мы третьего порядка запишем условия устойчивости

Ді—"Ь А гд — Л 2 -)- А з ^ 0;

В1 — 3 (Ло — Лз)-[-Лі — Л2>0;

/?2=3 (Лд-(- А А — А — Л2>0; Bz—Ап — А— А^ —

ВВ% — Вг, В3 ^ 0.

Используя эту систему неравенств, запишем_ соответствующие условия устойчивости через коэффициенты Ко, К і, К з:

Ко+Кг + К’^0;

Кп-К,-ЗКо>0;

3/Г2 — Ко —/Сі > 0;

8 — b (К о — /Сі-ф/СгІ^-О; b К2 (Kq—К2)—(К0 — КК >) 0.

Решая систему алгебраических уравнений, составленную с ис­пользованием системы неравенств (5.86), пострюим_ область устой­чивости системы в пространстве параметров Йо, К, Къ (рис. 5.2) для определения допустимых диапазонов изменения этих парамет­ров в случае полной компенсации нестационарности объекта коэф­фициентами законов управления согласно равенствам (5.84). Кор­рекция коэффициентов при координате управления в моменты вре­мени (пТ), [(п—1)74, [(«—2)7′] осуществляется по идентичным обратно пропорциональным зависимостям, и отличие в величине изменения этих коэффициентов на высоте 30 м и не превышает 6%. Поэтому ограничимся для коррекции коэффициентов одним общим зависящим от времени, множителем и представим коэффициенты законов управления в следующем виде:

К0=у(пТ)Кг-, К=У (пТ) Кй К2=у(пТ) К<2-

В этом случае дискретный закон управления (5.76), выражен­ный через координату х

и (пТ) = и {п — 1) Г[+ Y (ПТ) (—х (ft Т) + ——— — р—— X

w о—пГ ‘О— п—U *

X х [(ft — 1) Т + —————————————- х [(ft — 2)Т. (5.88)

Т0— (п — 2)Т

Если за счет выбора дискретной функции (пТ) коэффициенты закона управления (5.88) являются медленно меняющимися функ­циями времени, то можно воспользоваться условиями устойчивости (5.86) для построения области допустимых значений (пТ). Из ус­ловий устойчивости (5.86), определяющими являются неравенства В3^0 и В]В2—В0Вз^О, которым должны удовлетворять парамет­ры системы для обеспечения поточечной устойчивости. Используя эти неравенства с учетом обозначений (5.87), имеем:

_______ 8арДіД2_______ .

(К. оаа2 — ^1й0а2 + Кча ofti) b

Y {nT) > Щ^+К^+краз) t (5,90)

(KoKial— K2aca) b

где a0=70— nT a, = 7’0 —(ft — 1)Г; a2=T0— (ft — 2)T.

Выражение (5.89) определяет верхнюю допустимую границу, а выражение (5.90)—нижнюю допустимую границу области устой-

чивости системы для переменного множителя у(яГ) с законом уп­равления (5.88) (рис. 5.3). В выражения для верхних и нижних до­пустимых границ множителя у(пТ) входит постоянная Г0, которая определяется высотой полета в момент «захвата» глиссады, ско­ростью полета и углом наклона глиссады конкретного аэродрома. С учетом допусков на эти параметры [6] определим максимальное и минимальное значения параметра Г0 (Готах, Г0тіп). Для высоты «захвата» глиссады Ягл = 600 м, скорости полета К=77,8 м/с и угла наклона глиссады ео = 2,5° величина Г0тах=177 с. При Ягл = 300 м, V =69 м/с и во = 4° величина ГСты = 62 с. Кроме того, коэффициенты Ко, К, К2 зависят от коэффициента /С», который измеряется в пре­делах 0,4…1,92 в зависимости от допусков на радиотехнические сред­ства обеспечения посадки. На рис. 5.3 представлены области допус­тимых значений множителя у{пТ) для крайних значений парамет­ров Т0 и Ks в зависимости от изменения дискретного времени (пТ) для закона управления (5.88) построенные по Формулам (5.89), (5.90).

Из рассмотрения закона управления (5.88) вид функции воз­можно выбрать.

где Я=Г*/Г; Т* — время движения самолета с момента «захвата» глиссады до глиссадного радиомаяка.

Величина Т* определяется начальными условиями, соответст­вующими Готах, поскольку из первого неравенства условий устой­чивости (5.86) следует, что у(пТ)>0. Когда в процессе уменьше­ния у (пТ) достигает определенной величины (которая для выбран­ных значений коэффициентов Ко, К и К 2 определяет значения соответствующих коэффициентов закона управления (5.88), БЦВМ

должно прекратить перестройку коэффициентов. Для значения у(пГ)=0,2 это произойдет при n=0,8N и для Г* =177 с и Т=1 с при 7max=: 142 с. Однако при заходе на посадку при начальных ус­ловиях, соответствующих Го mm, время движения самолета от мо­мента «захвата» глиссады до момента пролета высоты 30 м состав­ляет 55 с. В этом случае величина у(пТ)= 0,69, что является недо­статочным для обеспечения требуемых качественных показателей системы управления.

■р* Т* + ‘пТ

С этой точки зрения более приемлемым является следующий закон изменения коэффициентов дискретного закона управления:

где v — коэффициент пропорциональности.

Этот закон обеспечивает уменьшение коэффициентов закона управления в 5,5 раза при nT=i2 с для v = 4 при начальных ус­ловиях соответствующих Готах. При начальных условиях соответ­ствующих Го min в момент пролета самолетом высоты 30 м значение у(/гГ)=0,44. Для номинального случая при высоте «захвата» глис­сады /7ГЛ = 400 м, V=72,2 м/с и во = 2,66° значение у(пГ)=0,21 в момент пролета самолетом высоты 30 м. Кроме того, закон измене­ния коэффициентов (5.92) принципиально не может вызвать неус­тойчивости системы, поскольку множитель у(«Г)>0 при любых п. Число N в формуле (5.92) равняется числу дискретных интерва­лов времени, прошедших с момента «захвата» глиссады на высоте Нгл до точки «прохождения» самолетом глиссадного радиомаяка при полете с постоянной скоростью.

Это число различно для различных самолетов и зависит от их скорости полета по глиссаде и высоты «захвата» глиссады. Для исключения влияния начальных условий высоты «захвата» глисса­ды и обеспечения одинакового характера изменения множителя {пТ), число N целесообразно вычислять в зависимости от высоты «захвата» глиссады по формуле

И „

VT tgEo •

Рассматриваемый дискретный закон управления и методика его проектирования рассматривается на примере движения самолета в продольной плоскости. Эта методика имеет достаточно обший характер и может быть перенесена на случай исследования движе­ния захода на посадку в боковой плоскости.

5.6. Выбор закона управления внутреннего контура

После определения дискретного закона управления траектор — ным движением рассмотрим вопросы проектирования внутреннего контура.

Расчет дискретного закона управления внутреннего контура проведем на основе аппроксимации во временной области извест­ного непрерывного линейного закона управления (5.9).

)

Аналоговый линейный закон управления определяется импульс­ной характеристикой k(t), которой соответствует передаточная

функция

оо

W (P) = L [k(t)} = f е~Р* k (t)dt. о

При подаче на вход непрерывного оператора W(р) переменной x„(t) сигнал на выходе yn(t) описывается интегралом свертки

і

уи (t) = kb)x„{t — s)ch (5.93)

о

при переходной функции g(0) =0.

Дискретный закон управления, описываемый разностным урав­нением

т

У(пТ)=^ 1г(1Т) х(лТ-1Т), (5.94)

1=0

где h(IT)—импульсная характеристика дискретного оператора, эквивалентен аналоговому (5.93), если выходная переменная дис­кретного оператора приблизительно равна выборкам выходной пе­ременной непрерывного оператора в моменты t — flTу (пТ)туя{І)т-пТ При условии Х(пТ)^ Хи (t)t=nT-

Задача определения эквивалентного дискретного оператора свя­зана с задачей определения его импульсной характеристики h(nT) или дискретной передаточной функции Н(г) по заданной импульс­ной характеристике непрерывного оператора и форме входного сигнала x„(t).

Переход от заданного непрерывного оператора к эквивалентно­му дискретному оператору можно представить следующим образом (рис. 5.4). Входной сигнал xn(t) поступает на импульсный элемент (ИЭ), на выходе которого создается модулированная последова­тельность мгновенных импульсов вида 6-функции:

xt (я Т)=л:н (0) 8 (0 + хи (Г) 8 ((— Т) +… + х (пТ) Ь (t — п Т) +…

Эта последовательность поступает на вход непрерывного интер­полирующего фильтра (ИФ)с импульсной характеристикой /ги. ф((). На выходе непрерывного интерполирующего фильтра образуется переменная, описываемая функцией:

оо

х* = •** («Л *"•<& V ~пТ’>’

п=О

которая представляет входной сигнал, поступающий на вход задан — ного аналогового оператора. Другими словами, функция x*(t) ап­проксимирует входную переменную x„{i), поступающую на вход непрерывного аналогового оператора. Точность аппроксимации за­висит от вида импульсной характеристики интерполирующего

Рис. 5.4. Функциональная схема эквивалентного цифрового оператора

фильтра йи. ф(і). Если входной сигнал хн(і) аппроксимируется по­следовательностью xs (пТ), то импульсная функция

А„.ф (t) = Tb(t),

и имеет место простейшая импульсная аппроксимация входного сигнала xn(t). В общем случае можно использовать кусочно-поли­номиальную интерполяцию, представляя йи. ф(0 в виде полиномов нулевого, первого или более высоких порядков.

Схему, представленную на рис. 5.4, можно рассматривать в том смысле, что сигнал Хь{пТ) с выхода идеального импульсного эле­мента поступает на вход приведенного непрерывного оператора (ПНО), состоящего из последовательно соединенного интерполи­рующего оператора и заданного непрерывного оператора. Испульс — ная характеристика приведенного непрерывного оператора опреде­ляется сверткой импульсных характеристик заданного и интерполи­рующего оператора при t = nT по формуле

пТ

*п. н.о (пТ)= [ k («Г—а) /ги, ф (3)^3,

‘о

а соответствующая передаточная функция приведенного непрерыв­ного оператора равна

И7п. м(/>)=1?1,,ф ip) W„.0(p).

Определив передаточную функцию приведенного непрерывного оператора по формуле

W(z)=Z [L-‘[W^(p)W„.о(/»)]),

где L~{ — оператор обратного преобразования Лапласа, находим эквивалентную передаточную функцию дискретного оператора.

В качестве интерполирующего фильтра рассмотрим фильтр с импульсной характеристикой:

при — Г</<0

£и. ф= 1 — ЦТ при 0 < t < Т (5-9Г))

( 0 при остальных значениях t,

который осуществляет кусочно-линейную аппроксимацию входной переменной. гн(/).

Аппроксимированная функция входного сигнала на выходе ин­терполирующего фильтра имеет вид:

х* У)=Хъ (пТ) + -~"Т- хь (п + 1) Т — хь (пТ).

Использование кусочно-линейной аппроксимации с импульсной характеристикой (5.95) позволяет обеспечить:

— малую ошибку аппроксимации входного сигнала и хорошую общую точность при дискретной реализации непрерывного опера­тора;

— малое запаздывание входного сигнала дискретного операто­ра, определяемое временем обработки входной и промежуточных переменных в цифровом вычислителе;

— совпадение фазовых и амплитудных характеристик заданного непрерывного и получаемого дискретного операторов.

Передаточная функция эквивалентного дискретного оператора при использовании интерполирующего фильтра с импульсной ха­рактеристикой (5.95) определяется формулой

Из рассмотрения закона управления внутреннего контура систе­мы захода на посадку (5.9) следует, что цифровой реализации под­лежит непрерывный оператор следующего вида:

У(Р) __ Tip х (Р) ТР 4- 1

Согласно (5.96) дискретная передаточная функция эквивалент­ного дискретного оператора имеет вид

Используя выражение (5.97), закон управления внутреннего контура (5.9) в рекуррентной форме выразим в следующем виде:

У і(пТ) = и(пТ о) -}- у 2 (пТ) АГшг«>г (пТ); где у, (пТ) = а, у, (п— 1)7′] — f — -^ai) (8В (пТ) — Ьй [{п — 1) Г]];

a l = e~T/Tu

Т о, (1 — СХо)

у2 (пТ)=а2у2 (п — 1) ГН— ^(пТ) _ д& [(„ _ 1) т і;

а2=е-Г/т»;

и(пТо) —управляющий сигнал контура траєкторного управления; Г—период дискретности вычислений сигналов внутреннего конту­ра; Го — период дискретности вычислений сигналов контура траєк­торного управления.

Для приемлемой аппроксимации аналоговых законов управле­ния в ДВУ необходимо за счет выбора величины периода дискрет­ности обеспечить выполнение равенства

2

10 =——— V,

Т

. wT

где со — частота; v=tg——— псевдочастота.

Для оценки точности подобного приближения зоваться соотношением, приведенным в [34]:

где (игр — максимальная частота в области существенных гранич­ных частот рассчитываемого контура управления.

В этом случае ошибки выполнения равенства (5.98) не превос­ходят 2% для всей области существенных частот системы и можно использовать соотношение (5.99) для выбора величины периода дискретности рассчитываемого контура управления.

5.7. Результаты экспериментальных исследований цифровой системы захода на посадку

Аналитические исследования, проведенные для обоснования структуры проектируемой системы, не учитывали реально сущест­вующие ограничения по скорости перемещения исполнительных устройств, квантование по амплитуде устройств ввода — вывода данных, ограничение разрядной сетки ДВУ, запаздывание, вноси­мое ДВУ и устройствами ввода-вывода данных.

Влияние перечисленных нелинейных факторов на динамические процессы в цифровой системе автоматического управления необхо­димо оценить на последующих этапах проектирования системы: на этапах математического моделирования, стендовых и летных испы­таниях. Исследования замкнутого контура управления заходом на посадку проводились для пассажирского самолета Ту-124.

Система уравнений движения самолета, принятая при цифровом математическом моделировании, записывается по осям траектор­ией системы координат (движение центра масс) и связанной систе­мы координат со следующими допущениями:

— самолет рассматривается как твердое тело постоянной мас­сы, имеющее вертикальную инерционно-массовую плоскость сим­метрии;

— полет происходит над плоской невращающейся землей;

— углы й, 9, а, р — малы в процессе захода на посадку;

— движение самолета в процессе захода на посадку происходит с постоянной скоростью;

— проекции сил и моментов, действующих на самолет в плоско­сти вертикальной симметрии, не зависят от параметров бокового движения;

— проекции силы тяги двигателей, лобового сопротивления на оси ОУ и OZ и проекция боковой подъемной силы на ось О У не учитываются ввиду их малого значения.

В этом случае система уравнений движения разбивается на две подсистемы: — продольного и бокового движения, связанные меж­ду собой через угол крена.

Подсистема уравнений продольного движения имеет вид: b = cv-^-qs cosy— -^-g;

т V

2

; = mz0qsbl/VІг — cyinczy q-s-b — • 57,3 — mzn — S„ — m*z — <• >г —

і qsb .

— mz—— a;

VI,

Ь — Лу sin Y-f шг cos v;
L=V cos 9;

H = V 0/57,3;

a = (d—0) cos Y —(— (<p — ф) sin y;

£rp. m == H/L Er. o>

an=a±a^;

Wu

V

VB—V ± Ux

Подсистема уравнений бокового движения

»„57 Ж — ml* -^-57 ЛЛ m? j~r % +

In ‘ U У

qsl-

—— l0x

2 laV

j = (B cos y — 0,г Sin y;

Y = «>.f —

z= — V sin cp;

ькр**‘ L+Ll’

4В=(Ф—<p) cosy-f(& —6) sin V!
Рп-?±М
pr=-bib.-57.3.

где с, = — f + cl + r7J)

/n* = — (ml + mcJcy+т’х$3У-

m°i*= — (тУ— mZxcy + т’хЖУ

ту = -(-(wzjr^ — mJLyCy “p ш. гшг/У,)-

/Пу’ = — (ту~~ту%Су 4"тг/3^з’

myy= —(/я/ + гПущСу— niyuyOt):
myx= —(m^—mlZxCy + niylx o3).

В уравнениях движения объекта управления приняты следую­щие обозначения переменных и коэффициентов:

сх, Су, cz — коэффициенты силы лобового сопротивления, подъ­емной и боковой сил соответственно; тх, mv, т2 — коэффициенты аэродинамического момента относительно осей ОХ, OYь OZ со­ответственно; (Вт, а>у, о)г — проекции вектора угловой скорости на оси ОХ і, OY, OZ соответственно; q — скоростной напор; s — пло­щадь крыла; Ь — аэродинамическая хорда крыла; /—размах кры­ла; Гх, /у, Iz — моменты инерции самолета относительно осей ОХи OY, OZ соответственно; а — угол атаки; air — угол атаки от вер­тикальной составляющей турбулентности; г1) — угол тангажа; <р — угол наклона траектории в горизонтальной плоскости; ф—курсо­вой угол; Єгр. м — угол отклонения центра масс самолета от кинема­тической глиссады; Н—высота полета; L — дальность до глиссад — ного радиомаяка; Vv — воздушная скорость; V — путевая скорость; бв, 6э, бн — углы отклонения руля высоты; элеронов и руля паправ —

ления соответственно, бз— угол отклонения закрылков; р — угол скольжения; fhv — угол скольжения от боковой составляющей вет­ра и боковой турбулентности; еКр. м— угол отклонения центра масс самолета от кинематической линии курса; L — расстояние между глиссадным и курсовым радиомаяками; Ux — горизонтальная со­ставляющая ветра, действюущая по оси ВПЦ; U2 — горизонтальная составляющая ветра, действующая перпендикулярно оси ВПП.

Исполнительные устройства управления рулевыми органами продольного и бокового каналов описывались следующей системой уравнений:

‘И === Зупр 0

(О при |Х! І < х10

■*2=|/01рфг1|—л:10) signal при

Un sign Х при Ui|>JClt

(О при |8|>80 и sign лг2=sign о

ао

хз = х2 при |8|<80 ; — = ^з-

U2 при |8|>80 и signх2фsign 8

где л’п — величина ограничения скоростной характеристики приво­да; 0Улр—входной управляющий сигнал, поступающий с выходно­го преобразователя; б — угол отклонения соответствующих руле­вых поверхностей; л’ь х2, Хз— промежуточные переменные; Хю — зо­на нечувствительной скоростной характеристик привода; А’пр— коэффициент усиления; бо —величина ограничения переме­щений исполнительного органа.

Законы управления цифровой системы захода на посадку при цифровом моделировании аналогичны рассмотренным в разд. 5.4… 5.6 для продольного канала управления. Для бокового канала уп­равления законы управления были получены на основании изложен­ной выше методики проектирования.

Записанные в рекуррентной форме законы управления для про­дольного и бокового каналов управления имеют вид: продольный канал управления

iynp(kT) = Kmwz (kT)—yl (kT)—F [уъ (kT)-f — АГВ8В (ІгТ)вкл;

У СkT)=ahfi (k— b’i{kT)

FnAbT)=[yJ№T) "p" te(4r)|<^

y2 при y2(kT)>y2

У 2 {kT) = Уз {kT) — f — у і (kT);

y3 (kT)=alys [{k -1) T + bl {& (kT)—% [(k~ 1) T+Sonl; yi(kT)=a.4yi {k— 1)T—by5(kT) y5(kT)=KUluі (nT0)

Ul(nT0) = u[(n-2)T0]-j-Yi (nT0) [К(Jsr(пТ0) + К, гт(п-)Т0 +

+ЛГ2£г[(я-2)Г]};

. т Яз (kT)

Уі(П °> Нъ(кТ)+Кп(пТй)‘

боковой канал управления:

^„Р (kT) = 1<штх (kT) + у в (kT) + F у7 (kT)} + К Л (kT)HKn; у6 (kT)=ОбУб [(^ — Ъ T’J -|- ЬІУ (kT);

Fhj, Ь™-У*(кТ)ПРИ ІУ7(^)|<Узад.

1У? J Ьзад(^) ПРН|у7(йП|>Уза;

у7 (kT)=a7y7 (k— 1) 7"] — f — bl7ys (kT);

У*(А7’)=/Гв1и2(л7’0)+Л4+ {At (kT)—F [Дф(АГ)]j +г/9(ЛГ); iuL (пТ[)) = и2 (п — 2) 7^0] -{-Ї2 (^Т’о) і^о£к (лТ’о) 4"^і£к I(tt — 1) 7*oJ 4" -)- K7lk 2) Т);

fl до „захвата" глиссады,

Ня (кТо)

Ня(кТо) + Кп (пТо)

^ [4t»m-|Л*<*П "P’* |1,(ткі!;

ІДФ при |лф(Ш| > Дф; у9 (kT) = aly9 (k-)Т + Ь( Дф (kT) — A’i?(k — 1)7’!!; 0уцр (kT)=Ко>ушу (kT)-{-K^y6 (kT)—KH?>„ (kT)BKiV

Здесь обозначено:

Зуир(kT) — выходной сигнал БЦВМ, поступающий на привод руля высоты; bn(kT) — текущее значение руля высоты; бв(&Лвкл — зна­чение руля высоты, запомненное в момент включения режима за­хода на посадку; соz(kT)—текущее значение угловой скорости тангажа; Ь(1гТ)—текущее значение угла тангажа; Ооп — постоян­ное значение угла тангажа, подаваемое в канал руля высоты в момент захвата глиссады; er(kTо)—текущее значение углового отклонения от равносигнальной зоны глиссады; Я3(/гТ)—значение высоты полета в момент «захвата» глиссады; у2— величина огра­ничения управляющего сигнала; aynp(kT)— выходной сигнал БЦВМ па привод элеронов; iyUp(kT) — выходной сигнал БЦВМ на привод руля направления; сox(kT)—текущее значение угловой скорости крена; бдЦЛвкл, б„(^7′)вкл — значение элеронов и руля направле­ния соответственно в момент включения режима захода на посад­ку; у(кТ)—текущее значение угла крена; /ЦЦйГ)—текущее зна­
чение отклонения курсового угла от заданного значения; ay(kT) — текущее значение угловой скорости рыскания; єк(йГ0)—текущее значение углового отклонения от равносигнальной курсовой зоны; Уі(ІгТ), …y$(kT) — промежуточные переменные; оД, а22, а’э, bi’, й22, ■■■, fa9— коэффициенты разностных уравнений; Т, Го — пе­риоды дискретности обработки управляющих сигналов внутренних и траекторных контуров соответственно.

В процессе проведения математического моделирования цифро­вой системы автоматического управления исследовалось влияние параметров ЦВУ и устройств преобразования сигналов на точность и качество работы системы, определялись динамические и точност­ные характеристики при воздействии на систему возмущающих факторов.

При реализации дискретных законов на ЦВУ возникают нели­нейные эффекты и погрешности, связанные с квантованием сигна­лов по уровню из-за устройств ввода-вывода данных и при про­ведении операции умножения, деления и сдвига.

В отечественной и зарубежной литературе подробно исследова­ны отдельные типы погрешностей, обусловленные наличием про­цесса квантования по уровню, а также погрешности, возникающие при синтезе цифровых фильтров, эквивалентных аналоговым. Во­прос о выборе потребной разрядности ЦВУ для реализации полу­ченных дискретных законов управления представляет значитель­ную трудность и нс решен в настоящее время аналитическими методами. Попытки провести оценки потребной разрядности ЦВУ, считая, что ошибки округления на каждом этапе максимальны, неоправдапы, так как исследование ошибок округления зависит от конкретного вычислительного алгоритма и результаты оценок раз­рядности получаются значительно завышены.

Для решения перечисленных вопросов использовалась програм­ма «Моделирование на ЭВМ автоматизированных бортовых систем управления», описание которой изложено в [28]. Эта программа по­зволяет решать следующие задачи моделирования систем управле­ния с управляющим ЦВУ:

— учитывать нелинейную модель движения объекта и системы управления;

— проводить анализ эффективности управления в зависимости от периода квантования по времени;

— определять потребную разрядность ЦВУ для реализации предложенных цифровых законов управления, изменяя точность вычисления управляющих сигналов;

— оценить необходимую точность представления входных и вы­ходных сигналов ЦВУ путем имитации входных и выходных преоб­разователей с переменной разрядностью;

— учесть в процессе моделирования стохастический характер функционирования систем управления

Результаты расчета по выбору допустимых значений разрядно­сти ЦВУ и входных преобразователей представлены на рис. 5.5,

5.6. На этих рисунках представлен характер изменения параметров

Рис. 5.5. Влияние разрядности ЦВУ на характер процессов управления

Єг и 6В движения самолета в процессе захода на посадку в продоль­ной плоскости с момента «захвата» глиссады до высоты около 15 м. Траектории, полученные в результате расчета с разрядностью ЦВУ 37 и 24 двоичных разрядов, практически совпадают, поэтому допус­тимо использовать ЦВУ с разрядностью не менее 24 двоичных разрядов. ЦВУ с 20-ти разрядной сеткой вызывает колебания по і параметру 6В и незначительные отклонения параметров ег. При управлении ЦВУ с 16-ю разрядами траектории параметра ег имеет расходящийся колебательный характер.

На рис. 5.6 приведены траектории параметров ег и бЕ с учетом разрядности аналого-цифровых преобразователей. Траектории со­ответствующие разрядности входных преобразователей выше 10, практически совпадают. Поэтому допустимо использование 10-раз — рядных входных преобразователей.

Разрядность выходных цифроаналоговых преобразователей в меньшей степени оказывает влияние на динамические характери­стики цифровой системы захода на посадку, и допустимо использо-

———— Входные преобразователи 16 разрядов 1 ———— Входные преобразователи Юразрядов цву-?Уразряда ———— Входные преобразователи б разрядов ) 2 U 1 Vf і / і4Аа+лЛч А А; А Л а… л А АР’ А Д/ь 0 “М/ 1 V V ”20’’ ‘зо’ V j {/50v V V/ JQ V J J j J ^t, c -1 L Рис. 5.6. Влияние разрядности входных преобразователей на характер процессов в системе

ванне выходных преобразователей с разрядностью не менее 6-ти двоичных разрядов.

Оценка точности управления цифровой системы захода на по­садку проводилась методом статистических испытаний. Этот метод позволяет находить статистические характеристики выходных сиг­налов нелинейной системы, если известны статистические характе­ристики входных сигналов, не требуя при этом аналитической связи между статистическими характеристиками входа и выхода системы. Искомые статистические характеристики выходной величины оцени­ваются параметрами некоторого случайного процесса на выходе си­стемы. Приближенные значения искомых параметров выходного процесса, на основании закона больших чисел, принимаются равны­ми оценкам этого процесса, получаемым на основании статистиче­ской обработки экспериментальных данных.

Ошибка вывода самолета в заданную область относительно ВПП обусловлена действием ряда возмущений, которые можно разделить на две группы. К первой группе относятся возмущения, вызываю­щие статические ошибки: постоянная составляющая ветра; ошибки датчиков системы; инструментальные ошибки вычислительных устройств системы.

Ко второй группе относятся возмущения, вызывающие динами­ческие ошибки: переменная составляющая ветра; высокочастотные радиопомехи в цепях измерения отклонений самолета от равносиг­нальных зон; искривление равноснгнальных зон радиомаяков.

При расчете точности цифровой системы захода на посадку рассматривалось совместное воздействие ветровых возмущений, помех радиотехнических средств обеспечения посадки и погрешно­сти датчиков информации. Предполагалось, что возмущения явля­ются стационарными и статистически независимы.

Ниже приводятся результаты статистического расчета точности цифровой системы захода на посадку самолета Ту-124 в продоль­ной плоскости для трех значений крутизны в глиесадном тракте «земля — борт», равных $Иом = 500 мкА/градус; smln = 250 мкА/гра — дус, Smax —960 мкА/градус и встречного направления продольной составляющей ветра. За критерий точности цифровой системы за­хода на посадку принимались, согласно требованиям II категории, отклонения от равносигнальной зоны глиссадного радиомаяка, из­меренные на выходе глиссадного приемника {/[мкА]} и линейное отклонение от глиссады {ДЯ[м]} на высотах //=100, 60, 30 и 15 м соответственно. Для каждого значения крутизны проведено 100 реа­лизаций и получены статистические совокупности случайных вели­чин і и И. Выравнивание статистического распределения проводи­лось методом моментов, согласно которому параметры, характери­зующие теоретическое распределение, выбираются с таким расчетом, чтобы несколько важнейших числовых характеристик (моментов) были равны соответствующим статистическим характе­ристикам. Посколоку распределение плотности вероятности (рис. 5.7) по своему характеру близко к нормальному, в качестве теоре­тического распределения выбран нормальный закон, зависящий от

двух параметров: математического ожидания и среднего квадра­тичного отклонения. В этом случае достаточно подобрать эти пара­метры так, чтобы сохранить два первых момента — математическое ожидание и дисперсию статистического распределения. Представ­ленные на тех же рисунках, что и гистограммы, выравнивающие кривые распределения показывают, что теоретические кривые рас­пределения учитывают основные особенности статистического рас­пределения параметров і и Н, Подтверждение гипотезы о нормаль­ности статистического распределения параметров і и Н осуществля­лось с помощью «критерия согласия» Пирсона.

На основании полученных статистических рядов определялась числовые характеристики статистического распределения (матема­тическое ожидание и среднее квадратичное отклонение). Оценки для математического ожидания и среднего квадратичного отклоне­ния рассчитывались по формулам:

Ш [*]= — V Х[ а [х]— —Ц- V (x — rri)2

п ҐП-Н п— 1 где Xj — значение случайной величины, наблюдаемое в і’-ой реали­зации; п — число реализаций.

Расчет точности выхода самолета в заданную область ВПП ос­новывался на том, что при числе реализаций л>30 закон распреде­ления оценок пц] о,.; mAf1 зд//,являющихся суммой случайных ве­личин на выходе системы, подчинены нормальному закону распре­деления. На рис. 5.8 представлены точностные характеристики цифровой системы захода на посадку в продольной плоскости для различных значений крутизны и встречной составляющей ветра. Как следует из расчетных точностных характеристик, полученных по результатам моделирования на ЭВМ, цифровая система обеспечива­ет требования, предъявляемые ко II категории посадки.

Синтезированные законы управления продольным и боковым движением самолета при заходе на посадку были введены в про-

Гиршлукомпас *9

Рис. 5.8. Точностные характеристики системы при действии встречного ветра:
а — по току ГРП; б — по линейному отклонению от глиссады

грамму ЦВУ, входящую в состав экспериментальной цифровой си­стемы управления [4]. Система была установлена на пассажирском самолете Ту-124. Функциональная схема экспериментальной цифро­вой системы захода самолета на посадку представлена на рис. 5.9. Было проведено более ста заходов на посадку в автоматическом режиме управления. Отклонения от равносигнальных зон глиссад — ного и курсового радиомаяков определялись на высоте 30 м. На рис. 5.10 представлены гистограммы статистических рядов, получен­ные в процессе испытаний на высотах, соответствующих пролету са­молета дальней и ближней приводных радиостанций, а также на вы­соте 30 м. Обработка экспериментальных данных подтвердила ре­зультаты аналитических исследований и цифрового моделирования. Сравнение точностных характеристик экспериментальной цифровой системы захода на посадку, установленной на самолете Ту-124, с ха­рактеристиками аналоговых систем показывает, что полученные оценки точности несколько превосходят оценки для существующих аналоговых систем захода на посадку.

Рис. 5.10. Распределения вероятностей угловых отклонений от равносильной зоны ГРМ: а — над ДПРС; б — над БПРС: в — на высоте 30 м